Mặt phẳng (toán học) là gì? Chi tiết về Mặt phẳng (toán học) mới nhất 2022

220px Intersecting planes.svg

Hai mặt phẳng giao cắt trong khoảng không ba chiều

Trong toán học, mặt phẳng là 1 mặt hai chiều phẳng kéo dãn vô hạn. 1 mặt phẳng là loại hình hai chiều tựa như như 1 điểm (không chiều), một đường thẳng (1 chiều) and khoảng không ba chiều. Những mặt phẳng có khả năng mở ra như là khoảng không con của 1 khoảng không có chiều cao hơn nữa, như là các bờ tường của 1 căn nhà dài ra vô hạn, hoặc chúng có khả năng có quyền sinh tồn tự do, như trong những trường hợp của hình học Euclid.

Khi chỉ xét riêng ở trong khoảng không Euclide hai chiều, mặt phẳng đề cập đến tất cả khoảng không. Nhiều hoạt động và sinh hoạt căn bản trong toán học, hình học, lượng giác, triết lý đồ thị and vẽ đồ thị đc triển khai trên khoảng không hai chiều, hay có thể nói rằng, trong mặt phẳng.

Hình học Euclide[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid nêu ra bước ngoặt quan trọng thứ nhất trong tư duy toán học, chiêu trò tiên đề của hình học.[1] Ông chọn lấy hữu hạn những thuật ngữ đã hết định nghĩa (những khái niệm chung) and những định đề (hoặc những tiên đề) căn bản mà ông đã áp dụng để minh chứng những mệnh đề hình học không giống nhau. Mặc dầu mặt phẳng theo chân thành và ý nghĩa văn minh không thẳng trực tiếp chỉ ra một định nghĩa nào trong cuốn Cơ sở, nhưng nó có khả năng được đánh giá là 1 phần của rất nhiều khái niệm chung.[2] Trong công trình xây dựng của bản thân mình Euclid chưa lúc nào áp dụng những số lượng để đo chiều dài, góc, hay là diện tích quy hoạnh. Cho nên, mặt phẳng Euclide không tuyệt đối giống mặt phẳng Descartes.

150px Planes parallel.svg

3 mặt phẳng tuy nhiên tuy nhiên.

Mặt phẳng trong khoảng không Euclide 3D[sửa | sửa mã nguồn]

Phần này chỉ lưu ý đến các mặt phẳng khoảng không ba chiều: đặc điểm là trong R3.

Khẳng định bằng những điểm and đường thẳng đc chứa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong khoảng không Euclide của ngẫu nhiên chiều nào, mặt phẳng đc cam đoan duy nhất bằng các điều sau:

  • 3 điểm không thẳng hàng (những điểm không tọa lạc trên cùng một đường thẳng).
  • Một đường thẳng and một điểm tọa lạc ở ngoài đường thẳng đó.
  • Hai tuyến đường thẳng nhận biết giao cắt.
  • Hai tuyến đường thẳng tuy nhiên tuy nhiên.

Nổi biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Những mệnh đề sau sinh tồn trong khoảng không Euclide ba chiều nhưng không sinh tồn ở những chiều khoảng không cao hơn nữa, dù chúng có loại hình chiều khoảng không cao hơn nữa:

  • Hai mặt phẳng nhận biết hoặc là tuy nhiên tuy nhiên hoặc giao cắt trên một đường thẳng.
  • Một đường thẳng hoặc là tuy nhiên tuy nhiên với 1 mặt phẳng, hoặc cắt nó ở 1 điểm duy nhất, hoặc bị chứa trong mặt phẳng.
  • Hai tuyến đường thẳng nhận biết vuông góc với cùng 1 mặt phẳng phải tuy nhiên tuy nhiên cùng nhau.
  • Hai mặt phẳng nhận biết vuông góc với cùng 1 đường thẳng phải tuy nhiên tuy nhiên cùng nhau.

Phương trình điểm-pháp tuyến and phương trình tổng quát của 1 mặt phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cũng giống như những đường thẳng được đặt theo hướng trong khoảng không hai chiều đc trình diễn bằng cách thức áp dụng phương trình điểm-hệ số góc, mặt phẳng trong khoảng không ba chiều có dạng trình diễn thoải mái và tự nhiên áp dụng một điểm trong mặt phẳng and một vector trực giao với nó (những vector pháp tuyến) để đặt ra “góc nghiêng” của chính bản thân nó.

Chi tiết cụ thể, đặt 






r







{displaystyle mathbf {r} _{0}}

là vectơ nửa đường kính của điểm 





P.




=
(

x




,

y




,

z




)


{displaystyle Phường{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}

, đặt





n

=
(
a
,
b
,
c
)


{displaystyle mathbf {n} =(a,b,c)}

là một vector khác không. Mặt phẳng đc cam đoan bằng điểm đó and vector chứa những điểm




P.


{displaystyle P.}

, có vectơ nửa đường kính





r



{displaystyle mathbf {r} }

, làm thế nào để cho vector vẽ từ





P.






{displaystyle Phường{0}}

 đến 




P.


{displaystyle P.}

vuông góc với





n



{displaystyle mathbf {n} }

. Hãy nhớ là hai vectơ vuông góc khi and chỉ khi tích vô vị trí hướng của chúng bằng không, cho nên vì vậy mặt phẳng có nhu cầu có khả năng đc diễn tả như là tập toàn bộ những điểm





r



{displaystyle mathbf {r} }

làm thế nào để cho

(Dấu chấm tại chỗ này có nghĩa là một tích vô vị trí hướng của 2 vector, chưa hẳn phép nhân vô hướng.) Giải phóng và mở rộng đó sẽ biến thành

đây chính là phương trình điểm-pháp tuyến của 1 mặt phẳng.[3] Đây là một phương trình tuyến tính:

trái lại, dễ dàng và đơn giản đặt ra rằng nếu a, b, c and d là hằng số and a, b, c là không cùng theo đó bằng không, thì đồ thị của phương trình

là 1 mặt phẳng nhận vector





n

=
(
a
,
b
,
c
)


{displaystyle mathbf {n} =(a,b,c)}

làm pháp tuyến.[4] Phương trình rất gần gũi này nếu với mặt phẳng đc gọi là dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng.[5]

Ví dụ một phương trình hồi quy có dạng y = d + ax + cz (with b=-1) tùy chỉnh mặt phẳng hợp lý và phải chăng nhất trong khoảng không ba chiều khi có hai biến lý giải.

Màn biểu diễn 1 mặt phẳng với 1 điểm and hai vectơ tọa lạc phía trên mặt phẳng đó[sửa | sửa mã nguồn]

Không chỉ có thế, mặt phẳng có khả năng đc trình diễn một cách thức tham số là tập toàn bộ những điểm có dạng

220px PlaneR

Biễu diễn vector của 1 mặt phẳng

trong số đó s and t thuộc số thực, cho v and w là những vectơ tự do tuyến tính cam đoan mặt phẳng, and r là vector thay mặt cho nơi đặt của 1 điểm tùy ý (nhưng thắt chặt và cố định) phía trên mặt phẳng. Những vectơ v and w có khả năng đc tưởng tượng giống như những vectơ ban sơ tại r and chỉ theo những hướng không giống nhau chạy dọc theo mặt phẳng. Chú ý rằng v and w có khả năng vuông góc, nhưng chưa được tuy nhiên tuy nhiên.

Biễu diễn 1 mặt phẳng qua ba điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt p1=(x1, y1, z1), p2=(x2, y2, z2), and p3=(x3, y3, z3) là các điểm không thẳng hàng.

Chiêu trò 1[sửa | sửa mã nguồn]

Những mặt phẳng trải qua p1, p2, and p3 có khả năng đc diễn tả như là tập toàn bộ những điểm (x,y,z) đồng tình phương trình định thức trong tương lai:

Chiêu trò 2[sửa | sửa mã nguồn]

Để trình diễn mặt phẳng bằng một phương trình có dạng 




a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=



{displaystyle ax+by+cz+d=0}

, cần giải những hệ phương trình sau:

Hệ có khả năng đc giải quyết và xử lý bằng định lý Cramer and những thao tác làm việc biến hóa căn bản của ma trận. Đặt

Nếu D khác không (gây nên những mặt phẳng không qua gốc tọa độ) những giá thành của a, b and c có khả năng được xem như sau:

Các phương trình này còn có tham số là d. Đặt d bằng với con số khác không and thế chúng vào những phương trình này sẽ có được một tập nghiệm.

Chiêu trò 3[sửa | sửa mã nguồn]

Mặt phẳng này cũng luôn tồn tại thể đc trình diễn bằng “điểm and một vector pháp tuyến” điều khoản ở phí a trên. Cho 1 vector pháp tuyến hợp lý và phải chăng bằng tích vector

and điểm r có khả năng được nhìn nhận là 1 trong các các điểm p1,p2 hoặc p3 đã cho.[6]

Điểm đặt kha khá giữa 2 mặt phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho mặt phẳng




(
α
)
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=



{displaystyle (alpha )Ax+By+Cz+D=0}

and mặt phẳng




(

α


)

A


x
+

B


y
+

C


z
+

D


=



{displaystyle (alpha ‘)A’x+B’y+C’z+D’=0}




(
α
)

(

α


)
=
(
d
)

A
:
B
:
C


A


:

B


:

C




{displaystyle (alpha )cap (alpha ‘)=(d)Leftrightarrow A:B:Cneq A’:B’:C’}




(
α
)

/


/

(

α


)



{



A
:
B
:
C
=

A


:

B


:

C






A
:
B
:
C
:
D


A


:

B


:

C


:

D










{displaystyle (alpha )//(alpha ‘)Leftrightarrow {begin{cases}A:B:C=A’:B’:C’A:B:C:Dneq A’:B’:C’:D’end{cases}}}




(
α
)

(

α


)

A
:
B
:
C
:
D
=

A


:

B


:

C


:

D




{displaystyle (alpha )equiv (alpha ‘)Leftrightarrow A:B:C:D=A’:B’:C’:D’}

Khoảng tầm cách thức xuất phát từ một điểm đến chọn lựa 1 mặt phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho mặt phẳng 




Π
:
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=




{displaystyle Phường :ax+by+cz+d=0,}

and một điểm






p


1


=
(

x

1


,

y

1


,

z

1


)


{displaystyle mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}

không nhất thiết phải tọa lạc phía trên mặt phẳng, khoảng tầm cách thức ngắn nhất từ






p


1




{displaystyle mathbf {p} _{1}}

tới mặt phẳng là

Suy ra 






p


1




{displaystyle mathbf {p} _{1}}

 tọa lạc phía trên mặt phẳng khi and chỉ khi D=0.

Nếu 







a

2


+

b

2


+

c

2




=
1


{displaystyle {sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}

có nghĩa rằng a, b, and c đc chuẩn hoá[7] thì phương trình biến thành

Một dạng phương trình vector khác của mặt phẳng, đc nghe biết như là dạng pháp tuyến Hesse dựa vào tham số D. Có dạng:[5]

với 





n



{displaystyle mathbf {n} }

là một vector pháp tuyến đơn vị chức năng đến mặt phẳng,





r



{displaystyle mathbf {r} }

là một vector nửa đường kính của 1 điểm thuộc mặt phẳng and D là khoảng tầm cách thức từ gốc đến mặt phẳng.

Công thức tổng quát cho những chiều khoảng không cao hơn nữa có khả năng nhanh lẹ dành được bằng cách thức áp dụng ký hiệu vector. Cho những siêu mặt phẳng có phương trình 





n


(

r




r





)
=



{displaystyle mathbf {n} cdot (mathbf {r} -mathbf {r} _{0})=0}

, với





n



{displaystyle mathbf {n} }

 là một vector pháp tuyến and 






r





=
(

x

10


,

x

20


,

,

x

N



)


{displaystyle mathbf {r} _{0}=(x_{10},x_{20},dots ,x_{N0})}

 là nửa đường kính vector trong siêu mặt phẳng. Ta có nhu cầu khoảng tầm cách thức vuông góc đến điểm






r


1


=
(

x

11


,

x

21


,

,

x

N
1


)


{displaystyle mathbf {r} _{1}=(x_{11},x_{21},dots ,x_{N1})}

. Những siêu mặt phẳng này cũng luôn tồn tại thể đc trình diễn bằng phương trình vô hướng 







i
=
1


N



a

i



x

i


=


a






{displaystyle sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}

, với đa số hằng số 




{

a

i


}


{displaystyle {a_{i}}}

. Gần giống như thế,





n



{displaystyle mathbf {n} }

 tựa như cũng luôn tồn tại thể đc trình diễn là 




(

a

1


,

a

2


,

,

a

N


)


{displaystyle (a_{1},a_{2},dots ,a_{N})}

. Ta cần phép chiếu vô vị trí hướng của vector






r


1





r







{displaystyle mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{0}}

 theo vị trí hướng của 





n



{displaystyle mathbf {n} }

. Chú ý rằng 





n




r





=


r







n

=


a






{displaystyle mathbf {n} cdot mathbf {r} _{0}=mathbf {r} _{0}cdot mathbf {n} =-a_{0}}

(do 






r







{displaystyle mathbf {r} _{0}}

 thoả phương trình của siêu mặt phẳng) ta có

Đường thẳng giao cắt giữa hai mặt phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng giao cắt giữa hai mặt phẳng





Π

1


:


n


1




r

=

h

1




{displaystyle Phường _{1}:mathbf {n} _{1}cdot mathbf {r} =h_{1}}

 and 





Π

2


:


n


2




r

=

h

2




{displaystyle Phường _{2}:mathbf {n} _{2}cdot mathbf {r} =h_{2}}

 với 






n


i




{displaystyle mathbf {n} _{i}}

 đc chuẩn hoá cho bởi

với

Điều đó dành được bằng cách thức chăm chú rằng những đường thẳng phải vuông góc với pháp tuyến của 2 mặt phẳng, and cho nên vì vậy cùng với tích vectơ của chúng






n


1


×


n


2




{displaystyle mathbf {n} _{1}times mathbf {n} _{2}}

(tích vectơ bằng không khi and chỉ lúc các mặt phẳng này tuy nhiên tuy nhiên, and cho nên vì vậy không giao cắt hoặc tuyệt đối trùng nhau).

Phần còn sót lại của biểu thức dành được bằng cách thức tìm một điểm tùy ý trê tuyến phố thẳng. Để gia công vậy, cảnh báo rằng ngẫu nhiên điểm nào trong khoảng không cũng luôn tồn tại thể đc viết bên dưới dạng





r

=

c

1




n


1


+

c

2




n


2


+
λ
(


n


1


×


n


2


)


{displaystyle mathbf {r} =c_{1}mathbf {n} _{1}+c_{2}mathbf {n} _{2}+lambda (mathbf {n} _{1}times mathbf {n} _{2})}

, do




{


n


1


,


n


2


,
(


n


1


×


n


2


)
}


{displaystyle {mathbf {n} _{1},mathbf {n} _{2},(mathbf {n} _{1}times mathbf {n} _{2})}}

 là một cơ sở. Ta muốn tìm một điểm tọa lạc trên cả 2 mặt phẳng (nghĩa là tọa lạc trên giao tuyến của chúng), cho nên vì vậy chèn phương trình này vào từng phương trình của từng mặt phẳng để dành được hai phương trình cùng theo đó có khả năng tìm kiếm được





c

1




{displaystyle c_{1}}

 and 





c

2




{displaystyle c_{2}}

.

Nếu tất cả chúng ta cũng giả định rằng






n


1




{displaystyle mathbf {n} _{1}}

 and 






n


2




{displaystyle mathbf {n} _{2}}

 là trực giao thì điểm gần nhất trên giao tuyến tới gốc là 






r





=

h

1




n


1


+

h

2




n


2




{displaystyle mathbf {r} _{0}=h_{1}mathbf {n} _{1}+h_{2}mathbf {n} _{2}}

. Nếu như không phải là điều kiện đó, thì một giấy tờ thủ tục nan giải hơn phải đc áp dụng.[8]

Góc giữa hai mặt phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai mặt phẳng giao cắt đc diễn tả bởi





Π

1


:

a

1


x
+

b

1


y
+

c

1


z
+

d

1


=




{displaystyle Phường _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0,}

 and





Π

2


:

a

2


x
+

b

2


y
+

c

2


z
+

d

2


=




{displaystyle Phường _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0,}

, thì góc giữa hai mặt phẳng đó được định nghĩa là góc 




α


{displaystyle alpha }

 giữa những đường thẳng chứa 2 pháp tuyến của chúng:

Mặt phẳng trong những nghành nghề dịch vụ không giống nhau của toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Kề bên kết cấu hình học rất gần gũi, với những phép đẳng cấu có những đẳng cự cùng theo với tích trong nhiều lúc, mặt phẳng có khả năng được nhìn nhận ở những Lever trừu tượng không giống nhau. Mỗi Lever trừu tượng khớp ứng với 1 phân mục chi tiết cụ thể.

Tại một thái cực, toàn bộ những khái niệm hình học and chuẩn đo hệ mét có khả năng bị bỏ khỏi mặt phẳng topo, mà có khả năng được đánh giá như 1 tấm cao su đặc vô hạn đồng luân tầm thường đc lý tưởng hóa, tuy nhiên vẫn bảo trì một khái niệm về khoảng tầm cách thức, nhưng không sinh tồn khoảng tầm cách thức. Mặt phẳng topo chứa một khái niệm về đường thẳng tuyến tính, nhưng không tồn tại khái niệm về một đường thẳng. Mặt phẳng topo, hoặc sự tương đồng với hình trụ mở của chính bản thân nó, là miền ở bên cạnh topo cơ bản đc áp dụng để kiến thiết xây dựng những mặt phẳng (hoặc những đa tạp 2D) đc xếp vào loại topo ít chiều. Những phép đẳng cấu của mặt phẳng topo đều là tuy nhiên ánh thường xuyên. Mặt phẳng topo chính là kịch bản thoải mái và tự nhiên cho những nhánh của triết lý đồ thị mà giải quyết và xử lý những đồ thị phẳng, and có những công dụng ví dụ điển hình như định lý bốn màu.

Mặt phẳng cũng luôn tồn tại thể được nhìn nhận như là khoảng không affine, mà phép đẳng cấu của chính bản thân nó là sự phối kết hợp của rất nhiều phép tịnh tiến and map tuyến tính không suy biến. Từ quan điểm đó suy ra không sinh tồn khoảng tầm cách thức, nhưng tính cộng tuyến and Tỷ Lệ khoảng tầm cách thức trên ngẫu nhiên đường thẳng nào đều đc bảo toàn.

Hình học vi phân coi 1 mặt phẳng như 1 đa tạp thực 2D, là 1 mặt phẳng topo đc ưng ý kèm một kết cấu vi phân. Một đợt nữa trong điều kiện này, không tồn tại khái niệm về khoảng tầm cách thức, nhưng hiện chứa một khái niệm về tính trơn của xạ ảnh, chẳng hạn như một đường thẳng khả vi hoặc trơn nhẵn (lệ thuộc vào loại kết cấu vi phân đc cần sử dụng). Những phép đẳng cấu trong điều kiện này là là tuy nhiên ánh với tầm độ đc chọn theo sự khả vi.

Theo phía đối lập của sự việc trừu tượng, bạn cũng có thể cần sử dụng một kết cấu trường thích hợp với mặt phẳng hình học, tạo được các mặt phẳng phức and những nghành nghề dịch vụ chính của giải tích phức. Những trường phức chỉ có hai phép đẳng cấu mà ly khai đường thẳng thực thắt chặt và cố định, phép đồng nhất and phép phối hợp.

Theo cùng cách thức như trong những điều kiện trong thực tiễn, mặt phẳng cũng luôn tồn tại thể được nhìn nhận như là đa tạp phức dễ dàng nhất, 1 chiều (trên trường số phức), nhiều lúc gọi là đường phức. Mặc dù vậy, quan điểm đó trái lập với điều kiện mặt phẳng như 1 đa tạp thực 2D. Những phép đẳng cấu đều là tuy nhiên ánh bảo giác của mặt phẳng phức, nhưng năng lực chỉ là những xạ ảnh khớp ứng với những phần tử của 1 phép nhân một số trong những phức với 1 phép tịnh tiến.

Không chỉ có thế, hình học Euclide (trong số đó độ cong bằng không ở khắp mọi địa chỉ) chưa hẳn là hình học duy nhất mà mặt phẳng có khả năng có. Mặt phẳng có khả năng đc cho 1 dạng hình học hình cầu bằng cách thức áp dụng phép chiếu lập thể. Điều đó có khả năng coi như đặt một khối cầu phía trên mặt phẳng (gần giống một quả bóng trên mặt nền nhà), loại trừ điểm đầu, and chiếu hình cầu lên mặt phẳng từ điểm đó). Đây là 1 trong các những phép chiếu mà có khả năng đc áp dụng trong công việc tạo được một map phẳng của 1 phần của mặt phẳng Cộng đồng. Những dạng hình học sở hữu được có độ cong dương thường xuyên.

Không chỉ có thế, mặt phẳng cũng luôn tồn tại thể đc ưng ý một chuẩn đo hệ mét mà mang đến cho nó mặt phẳng hyperbol có độ cong âm không đổi. Tài năng thứ 2 là tìm cảm thấy một phần mềm trong thuyết kha khá đặc điểm trong điều kiện dễ dàng hoá, địa chỉ có hai chiều khoảng không and 1 chiều thời khắc. (Những mặt phẳng hyperbol là một siêu mặt phẳng loại thời khắc trong khoảng không Minkowski ba chiều.)

Ghi chú về hình học tôpô and hình học vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Sự giải phóng và mở rộng compac ở 1 điểm của mặt phẳng là đồng phôi với hình cầu (xem phép chiếu lập thể); hình trụ mở là đồng phôi với 1 khối cầu có “cực Bắc” mất tích; thêm đặc điểm này bổ sung cập nhật khối cầu (compact). Hiệu quả của sự việc giải phóng và mở rộng compac này là một đa tạp gọi tắt là khối cầu Riemann hay đường xạ ảnh phức. Phép chiếu từ mặt phẳng Euclide đến một quả cầu mà hoàn toàn không chứa một điểm là một map vi đồng phôi and thậm chí còn bảo giác.

Mặt phẳng bản thân là đồng phôi (and vi đồng phôi) đến một hình trụ mở. Nếu với mặt phẳng hyperbol thì vi đồng phôi là bảo giác, nhưng nếu với những mặt phẳng Euclide chưa hẳn vậy.

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Flat (geometry)
  • Half-plane
  • Hyperplane
  • Line-plane intersection
  • Plane of incidence
  • Plane of rotation
  • Point on plane closest lớn origin
  • Projective plane

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Eves 1963, pg. 19
  2. ^

    Joyce, D. E. (1996), Euclid’s Elements, Book I, Definition 7, Clark University, truy vấn ngày 8 tháng tám năm 2009

  3. ^ Anton 1994, p. 155
  4. ^ Anton 1994, p. 156
  5. ^ aăWeisstein, Eric W. (2009), “Plane”, MathWorld–A Wolfram Web Resource, truy vấn ngày 8 tháng tám năm 2009
  6. ^ Dawkins, Paul, “Equations of Planes”, Calculus III
  7. ^ Lớn normalize arbitrary coefficients, divide each of a, b, cd by
  8. ^ Plane-Plane Intersection – from Wolfram MathWorld.

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (ấn bản 7), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
  • Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn và Bacon, Inc.

Kết nối ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hazewinkel, Michiel căn chỉnh (2001), “Plane”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Weisstein, Eric W., “Plane” từ MathWorld.
  • “Easing the Difficulty of Arithmetic và Planar Geometry” is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry và arithmetic.

Bài Viết: Mặt phẳng (toán học) là gì? Chi tiết về Mặt phẳng (toán học) mới nhất 2022

Nguồn: blogsongkhoe365.vn

Xem:  Arata Mackenyu là gì? Chi tiết về Arata Mackenyu mới nhất 2022

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.