Hàm số chẵn và lẻ là gì? Chi tiết về Hàm số chẵn và lẻ mới nhất 2022

220px Sintay SVG.svg

Hàm sin và tổng thể những đa thức Taylor của chính bản thân nó đều là những hàm lẻ. Bức Ảnh này đã cho chúng ta thấy




sin

(
x
)


{displaystyle sin(x)}

và những giao động Taylor của chính bản thân nó, những đa thức bậc 1, 3, 5, 7, 9, 11 và 13.

220px D%C3%A9veloppement limit%C3%A9 du cosinus.svg

Hàm cosine và tổng thể những đa thức Taylor của chính bản thân nó đều là những hàm chẵn. Bức Ảnh này đã cho chúng ta thấy




cos

(
x
)


{displaystyle cos(x)}

và giao động Taylor của chính bản thân nó ở bậc 4.

Trong toán học, hàm số chẵnhàm số lẻ là những hàm số đồng tình những mối quan hệ đối xứng nhất định khi lấy nghịch hòn đảo phép cộng. Chúng khá quan trọng trong tương đối nhiều nghành của giải tích toán, đặc thù trong định hướng chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier. Chúng được lấy tên theo tính chẵn lẻ của số mũ lũy thừa của hàm lũy thừa đồng tình từng tình huống: hàm số




f
(
x
)
=

x

n




{displaystyle f(x)=x^{n}}

là một hàm chẵn nếu n là một số nguyên chẵn, và nó là hàm lẻ nếu n là một số nguyên lẻ.

Định nghĩa và ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số thực thường đc phân chia thành hàm chẵn hoặc lẻ, tức là những hàm số với trị giá thực của 1 biến thực. Thế nhưng, có khả năng định nghĩa tổng quát hơn khi miền cam kết và miền đích của hàm đều phải có tính nghịch hòn đảo phép cộng. Những tập này gồm có những nhóm Abel, mọi vành, trường và khoảng trống vectơ. Chính vì vậy, ví dụ điển hình một hàm thực hay như là 1 hàm trị giá phức của 1 biến vectơ đều phải có thể là hàm chẵn hoặc lẻ, và cứ như thế.

Sau đây là một số ví dụ về những hàm thực để minh họa tính đối xứng của đồ thị những hàm đó.

Hàm số chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

220px




f
(
x
)
=

x

2




{displaystyle f(x)=x^{2}}

là một ví dụ về một hàm chẵn.

Cho f là một hàm số trị giá thực của 1 đối số thực. Vậy thì fchẵn nếu tình huống sau đc đồng tình với đa số x sao để cho cả x-x đều thuộc miền cam kết của f:[1]:p. 11

(Eq.1)

hoặc phát biểu một phương thức tương đồng, nếu phương trình sau đồng tình với đa số x trong miền cam kết:

Về mặt hình học, đồ thị của 1 hàm số chẵn đối xứng qua trục y, nghĩa là đồ thị của chính bản thân nó giữ không đổi sau phép lấy đối xứng qua trục y.

Ví dụ về những hàm chẵn là:

  • Hàm trị giá hoàn hảo
  • Hàm cosin
  • Hàm cosin hyperbolic

Hàm số lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

220px




f
(
x
)
=

x

3




{displaystyle f(x)=x^{3}}

là một ví dụ về một hàm lẻ.

Liên tục cho f là một hàm có trị giá thực của 1 đối số (biến) thực. Vậy f là hàm số lẻ nếu phương trình sau đồng tình với đa số x sao để cho x-x đều bên phía trong miền cam kết của f:[1]:p. 72

(Eq.2)

hoặc một phương thức tương đồng nếu phương trình sau đúng với đa số x thuộc miền cam kết của f:

Về mặt hình học, đồ thị của 1 hàm lẻ có đặc thù đối xứng tâm quay qua gốc tọa độ, nghĩa là đồ thị của chính bản thân nó không đổi sau khoản thời gian thi công phép quay 180 độ quanh điểm gốc.

Ví dụ về những hàm lẻ là:

  • Hàm đồng nhất
  • Hàm sin
  • Hàm sin hyperbol
  • Hàm lỗi
220px




f
(
x
)
=

x

3


+
1


{displaystyle f(x)=x^{3}+1}

là một hàm không chẵn cũng không lẻ.

Những đặc thù căn bản[sửa | sửa mã nguồn]

Tính duy nhất[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nếu một hàm số vừa chẵn và vừa lẻ, nó bằng 0 ở mọi điểm mà nó đc cam kết.
  • Nếu một hàm là lẻ thì trị giá hoàn hảo của hàm đó là một hàm chẵn.

Cộng và trừ hàm số chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn.
  • Tổng của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
  • Hiệu của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
  • Hiệu của hai hàm chẵn là hàm chẵn.
  • Tổng của 1 hàm chẵn và một hàm lẻ thì không chẵn cũng không lẻ, trừ khi 1 trong những những hàm ấy bằng 0 trên miền đã cho.

Nhân và chia hàm số chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn.
  • Tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.
  • Tích của 1 hàm chẵn với cùng 1 hàm lẻ là một hàm lẻ.
  • Thương của hai hàm chẵn là một hàm chẵn
  • Thương của hai hàm lẻ là một hàm chẵn.
  • Thương của 1 hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm lẻ.

Hàm hợp (tích ánh xạ)[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hàm hợp của hai hàm chẵn là hàm chẵn.
  • Hàm hợp của hai hàm lẻ là hàm lẻ.
  • Một hàm chẵn hợp với cùng 1 hàm lẻ là hàm chẵn.
  • Hàm hợp của bất kể hàm nào với cùng 1 hàm chẵn là hàm chẵn (nhưng điều ngược lại không đúng).

Nghiên cứu và phân tích chẵn-lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi hàm có khả năng đc nghiên cứu duy nhất thành tổng của 1 hàm chẵn và một hàm lẻ, đc gọi tương xứng là phần chẵnphần lẻ của 1 hàm số, nếu ta đặt như sau:

(Eq.3)

(Eq.4)

kế tiếp





f

e




{displaystyle f_{text{e}}}

là hàm chẵn,





f

o




{displaystyle f_{text{o}}}

là hàm lẻ, và

trái lại, nếu

trong số ấy g là chẵn và h là lẻ, thì




g
=

f

e




{displaystyle g=f_{text{e}}}




h
=

f

o


,


{displaystyle h=f_{text{o}},}

do tại

Ví dụ, hàm cosin hyperbolic và sin hyperbolic có khả năng được đánh giá là những phần chẵn và phần lẻ của hàm số lũy thừa tự nhiên và thoải mái, do tại hàm thứ nhất là chẵn, hàm thứ 2 là lẻ, và





e

x


=




cosh

(
x
)






f

e


(
x
)


+




sinh

(
x
)






f

o


(
x
)




{displaystyle e^{x}=underbrace {cosh(x)} _{f_{text{e}}(x)}+underbrace {sinh(x)} _{f_{text{o}}(x)}}

Những đặc thù đại số nâng cấp[sửa | sửa mã nguồn]

  • Bất cứ một nhóm hợp tuyến tính nào của những hàm chẵn đều là chẵn và những hàm chẵn phân thành một khoảng trống vectơ trên trường số thực. Cũng như, bất kể một nhóm hợp tuyến tính nào của những hàm lẻ thì đều là lẻ, và những hàm lẻ cũng tạo một khoảng trống vectơ trên trường số thực. Trên trong thực tế, khoảng trống vectơ của mọi hàm thực là tổng thẳng trực tiếp của những khoảng trống con của những hàm chẵn và hàm lẻ. Đây là một phương thức miêu tả trừu tượng hơn đặc thù nghiên cứu nói ở mục trước.
    • Khoảng không của những hàm số có khả năng được đánh giá là một kết cấu đại số phân bậc trên những số thực dựa theo đặc thù này, cùng theo với một trong những đặc thù khác ở trên cao.
  • Những hàm chẵn phân thành một đại số giao hoán trên trường số thực. Tuy thế, những hàm lẻ không tạo một kết cấu đại số trên trường số thực, bởi chúng không tồn tại tính đóng nếu với phép nhân.

Những đặc thù về mặt giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm là lẻ hay chẵn không suy ra được xem khả vi hay thậm chí còn là tính tiếp tục. Ví dụ, hàm Dirichlet là chẵn, nhưng không tiếp tục tại mọi địa điểm.

Trong phần tiếp theo sau, những đặc thù ảnh hưởng tới đạo hàm, chuỗi Fourier và chuỗi Taylor, và cứ như thế giả sử rằng những khái niệm trên đã đc định nghĩa nếu với hàm đang xét.

Những đặc thù giải tích căn bản[sửa | sửa mã nguồn]

  • Đạo hàm của 1 hàm chẵn là một hàm lẻ.
  • Đạo hàm của 1 hàm lẻ là chẵn.
  • Tích phân của 1 hàm lẻ từ − A đến + A bằng 0 (trong số ấy A là hữu hạn và hàm không tồn tại tiệm cận đứng nằm trong lòng − AA). Đối với cùng 1 hàm lẻ có tích phân trên một khoảng tầm đối xứng, ví dụ







A


A


f
(
x
)

d
x
=



{displaystyle int _{-A}^{A}f(x),dx=0}

  • Tích phân của 1 hàm chẵn từ −A đến +A bằng hai lần tích phân từ 0 đến +A (trong số ấy A là hữu hạn và hàm không tồn tại tiệm cận đứng giữa −AA. Vấn đề này cũng đúng lúc A là vô hạn, nhưng chỉ khi tích phân quy tụ); tức là







A


A


f
(
x
)

d
x
=
2






A


f
(
x
)

d
x


{displaystyle int _{-A}^{A}f(x),dx=2int _{0}^{A}f(x),dx}

Chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

  • Khai triển chuỗi Maclaurin của 1 hàm chẵn chỉ gồm có những lũy thừa chẵn.
  • Chuỗi Maclaurin của 1 hàm lẻ chỉ gồm có những lũy thừa lẻ.
  • Chuỗi Fourier của 1 hàm tuần hoàn chẵn chỉ gồm có những số hạng dạng cosin.
  • Chuỗi Fourier của 1 hàm tuần hoàn lẻ chỉ gồm có những số hạng dạng sin.
  • Chuyển đổi Fourier của 1 hàm số chẵn có trị giá thuần số thực là thực và chẵn.
  • Chuyển đổi Fourier của 1 hàm số lẻ có trị giá thuần số thực là ảo và lẻ.

Hàm máy điều hòa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong giải quyết và xử lý dấu hiệu, méo hài xẩy ra lúc một dấu hiệu sóng sin đc gửi sang một mạng lưới hệ thống phi tuyến không tồn tại bộ lưu trữ, tức là một mạng lưới hệ thống mà đầu ra tại thời gian t chỉ lệ thuộc vào nguồn vào tại chính thời điểm này và không lệ thuộc vào nguồn vào tại bất kể thời gian nào trước đây. Một mạng lưới hệ thống như thế đc màn biểu diễn bằng một hàm cung cấp





V

out


(
t
)
=
f
(

V

in


(
t
)
)


{displaystyle V_{text{out}}(t)=f(V_{text{in}}(t))}

. Loại hàm máy điều hòa ra đời lệ thuộc vào hàm cung cấp f:[3]

  • Khi hàm cung cấp là chẵn, dấu hiệu tác dụng sẽ chỉ chứa những máy điều hòa bậc chẵn của sóng sin nguồn vào;
  • Khi hàm là lẻ, dấu hiệu tác dụng chỉ gồm những máy điều hòa bậc lẻ của sóng sin nguồn vào;
  • Khi hàm không tồn tại tính đối xứng, dấu hiệu tác dụng có khả năng chứa máy điều hòa bậc chẵn hoặc lẻ;

Cần để ý rằng vấn đề đó không hề đúng nếu với những dạng sóng khó khăn hơn. Một sóng dạng răng cưa ví dụ điển hình, chứa cả máy điều hòa bậc chẵn và lẻ. Sau thời điểm chỉnh lưu chẵn toàn sóng, nó biến thành một sóng tam giác, sóng này ngoài DC offset ra thì chỉ chứa những máy điều hòa bậc lẻ.

Tổng quát hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm đa biến[sửa | sửa mã nguồn]

Đối xứng chẵn:

Một hàm




f
:


R


n




R



{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}lớn mathbb {R} }

đc gọi là có đối xứng chẵn nếu đồng tình:

Đối xứng lẻ:

Một hàm




f
:


R


n




R



{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}lớn mathbb {R} }

đc gọi là có đối xứng lẻ nếu đồng tình:

Những hàm có trị giá phức[sửa | sửa mã nguồn]

Những định nghĩa cho đối xứng chẵn và lẻ cho những hàm trị giá phức với đối số thực là cũng như như tình huống hàm trị giá thực nhưng ảnh hưởng đến phối hợp phức.

Đối xứng chẵn:

Một hàm trị giá phức với đối số thực




f
:

R



C



{displaystyle f:mathbb {R} lớn mathbb {C} }

đc gọi là có đối xứng lẻ nếu:

Đối xứng lẻ:

Một hàm trị giá phức với đối số thực




f
:

R



C



{displaystyle f:mathbb {R} lớn mathbb {C} }

đc gọi là có đối xứng lẻ nếu:

Dãy có độ dài hữu hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa đối xứng lẻ và chẵn còn đc giải phóng và mở rộng cho những dãy N-điểm (ví dụ những hàm có dạng




f
:

{


,
1
,

,
N

1

}



R



{displaystyle f:left{0,1,ldots ,N-1right}lớn mathbb {R} }

) như sau:[4]:p. 411

Đối xứng chẵn:

Một dãy N-điểm đc gọi là có đối xứng chẵn nếu

Một dãy như thế thường đc gọi là dãy palindrome; bài viết liên quan Đa thức palindrome.

Đối xứng lẻ:

Một dãy N-điểm đc gọi là có đối xứng lẻ nếu




f
(
n
)
=

f
(
N

n
)


với đa số 

n


{

1
,

,
N

1

}

.


{displaystyle f(n)=-f(N-n)quad {text{với đa số }}nin left{1,ldots ,N-1right}.}

Một dãy như thế nhiều lúc nói một cách khác là một dãy anti-palindrome; bài viết liên quan Đa thức antipalindrome.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hàm Hermite, một tổng quát hóa trên trường số phức
  • Chuỗi Taylor
  • Chuỗi Fourier
  • Giải pháp Holstein–Herring
  • Tính chẵn lẻ (vật lý)

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ aă

    Gel’Fand, I.M.; Glagoleva, E.G.; Shnol, E.E. (1990). Functions và Graphs. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.

  2. ^ W., Weisstein, Eric. “Odd Function”. mathworld.wolfram.com.
  3. ^ Berners, Dave (tháng 10 năm 2005). “Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics”. UA WebZine. Universal Audio. Truy vấn ngày 22 tháng chín 2016. Lớn summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.
  4. ^ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms và Applications (bằng tiếng Anh) (ấn bản 3), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

Tham khảo thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Functions và Graphs, 2002

Bài Viết: Hàm số chẵn và lẻ là gì? Chi tiết về Hàm số chẵn và lẻ mới nhất 2022

Nguồn: blogsongkhoe365.vn

Xem:  Pháp luật quốc gia là gì? Chi tiết về Pháp luật quốc gia mới nhất 2022

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.