Chai Klein là gì? Chi tiết về Chai Klein mới nhất 2022

200px Klein bottle.svg
200px

Felix Klein (1849 – 1925)

Trong toán học, chai Klein (hay bình Klein) là một ví dụ cho mặt không kim chỉ nan, có thể nói rằng, đó là một mặt phẳng (một đa tạp hai chiều), mà trong số ấy khái niệm về bên trong và bên ngoài không hề đc khẳng định một cách thức nhất quán. Một vài khái niệm hình học không kim chỉ nan ảnh hưởng khác rất có thể kể đến như mặt Mobius hay mặt phản quang thực. So với dải Mobius, đây là một mặt phẳng có biên, còn chai Klein thì không tồn tại biên (đối chiếu sẽ cảm thấy rằng chai Klein khác với mặt cầu, vì mặt cầu là một mặt có kim chỉ nan không tồn tại biên).

Chai Klein đã đc biểu đạt lần đầu vào khoảng thời gian 1882 bởi nhà toán học người Đức Felix Klein, khởi đầu chọn cái tên là Kleinsche Fläche (“mặt phẳng Klein”) nhưng tên thường gọi đó không đúng chuẩn lắm nếu với các phân tích và lý giải của Kleinsche Fläche (“Chai Klein”), cho nên ở đầu cuối thuật ngữ chai Klein đã đc cần sử dụng trong tiếng Đức.[1]

Kết cấu[sửa | sửa mã nguồn]

Chai Klein đc cấu thành xuất phát điểm từ một hình vuông vắn, nếu dán cạnh có màu tương xứng cùng với nhau, theo như hình minh hoạ phía bên dưới.

Nói rõ hơn, chai Klein là khoảng không thương đc biểu đạt như hình vuông vắn [0,1] × [0,1] với những sát bên khẳng định bởi mối quan hệ (0, y) ~ (1, y) với 0 ≤ y ≤ 1 and (x, 0) ~ (1 − x, 1) với 0 ≤ x ≤ 1:

Hình vuông vắn này là một đa giác cơ sở của chai Klein.
Chú ý rằng: tất cả chúng ta nói tới sự việc “dán” tại đây là theo nghĩa trừu tượng để dễ dàng nắm bắt trong 1 khoảng không 3D, and hiệu quả là ta rất có thể tưởng tượng được một chai Klein tự giao. Dĩ nhiên chai Klein không cắt chéo. Tuy vậy, chứa một cách thức để tưởng tượng chai Klein trong khoảng không bốn chiều.

Dán những cạnh có mũi tên red color trên hình vuông vắn vào cùng với nhau, để có thể tạo thành một hình tròn trụ. Tiếp sau, dán hai cạnh còn sót lại, mỗi cái lại phân thành một hình tròn trụ. Chăm chú, ta sẽ khởi tạo ra một hình trụ tự cắt chéo. Đây là một phép nhúng của chai Klein trong khoảng không ba chiều.

Bằng sự việc thêm chiều thứ 4 vào khoảng không 3D, sự tự giao rất có thể đc đào thải.
Nhẹ dịu đẩy một trong những phần của ống có chứa phần giao chạy dọc theo chiều thứ tư, thoát ra khỏi khoảng không 3D khởi đầu. Một tình huống cũng giống như có ích lúc xem xét một đường cong tự giao phía trên mặt phẳng; phần giao rất có thể đc đào thải bằng cách thức nâng một trong những phần thoát ra khỏi mặt bằng.

Phép nhúng này rất có ích cho sự tưởng tượng những nổi bật của chai Klein. Ví dụ, chai Klein không biên, mặt phẳng có chỗ tạm dừng bất ngờ, and không kim chỉ nan, đc phản quang xuất phát điểm từ một phía của mặt nhúng.

Loại hình vật lý nhiều khi của 1 chai Klein là một cấu tạo đồng dạng. Kho lưu trữ bảo tàng Khoa học ở London có tọa lạc một bộ sưu tầm thổi bằng tay bằng chai lọ thủy tinh chai Klein, tọa lạc nhiều biến thể về chủ đề topo này. Những chai làm bởi Alan Bennett từ thời điểm năm 1995 tiến hành triển khai cho những kho lưu trữ bảo tàng.[2]

Nổi bật[sửa | sửa mã nguồn]

Gần giống dải Mobius, chai Klein là một đa tạp khả vi trong khoảng không hai chiều không tồn tại kim chỉ nan. Nhưng chai Klein là một đa tạp đóng, một đa tạp compact không tồn tại biên. Trong những lúc dải Mobius rất có thể sống sót phép nhúng đc trong khoảng không Euclid ba chiều trong R3, chai Klein không hề. Nhưng chai Klein rất có thể đc nhúng vào trong R4

Rất có thể xem chai Klein như 1 bó sợi trên vòng tròn S1, với sợi S1: chọn 1 hình vuông vắn (modul những cạnh tương đồng) từ trên xuống là E là tổng những khoảng không, khoảng không cơ sở B đc cho trong khoảng chừng đơn vị chức năng y, có modul 1~0.
Phép chiếu π: EB đc cho bởi:

π([x, y])=[y]

Chai Klein đc thiết kế xây dựng (mang chân thành và ý nghĩa toán học, vì nó không hề đc tạo được mà dường như không cho mặt phẳng nó tự giao) bằng cách thức nối những cạnh của hai dải Mobius cùng với nhau, như đc biểu đạt trong bài thơ năm câu trong tương lai của nhà toán học Leo Moser:[3]

Một nhà toán học mang tên là Klein
Nghĩ dải Mobius là thần thánh.
Ông cho thấy: “Nếu khách hàng dán
Hai cạnh lại cùng với nhau,
Các bạn sẽ nhận được 1 chai lạ như của mình.”

Kết cấu khởi đầu của chai Klein đã có được từ những việc khẳng định các cạnh đối lập của hình vuông vắn, điều đó chứng minh chai Klein là một phức CW với 0-ngăn Phường, 2 ngăn đơn C1, C2 and 1 ngăn đôi D. Cho nên đặc thù Euler của chính bản thân nó là 1-2+1 = 0. Biên đồng cấu đc cho bởi ∂D = 2C1 and ∂C1=∂C1=0, tạo được nhóm thấu xạ của chai Klein K là H(K,Z)=Z, H1(K,Z)=Z×(Z/2Z) and Hn(K,Z) = 0 for n>1.

Chứa một ánh xạ phủ 2-1 từ hình xuyến đến chai Klein, vì hai bản sao đều thuộc miền căn bản của chai Klein, một chiếc đc đặt kế phản ảnh của cái kia, tạo được một miền căn bản của hình xuyến. Phủ hầu khắp của tất cả hai hình xuyến and chai Klein là mặt bằng R2.

Miền căn bản của chai Klein rất có thể đc khẳng định là nhóm những chuyển đổi sàn phủ hầu khắp và đã được trình diễn là <a,b | ab = b−1a>.

Sáu Color đủ để tô màu bất kể map trên mặt của 1 chai Klein, đây là ngoại lệ duy nhất để phỏng đoán Heawood, một dạng tổng quát của định lý bốn màu, nhưng sẽ đề xuất kiến nghị đến bảy màu.

Một chai Klein là đồng phôi với tổng gắn kết hai mặt phản quang. Nó cũng là đồng phôi với 1 quả cầu cộng với hai mặt mũ chéo.
Khi tiến hành triển khai phép nhúng trong khoảng không Euclide, chai Klein là 1 chiều. Tuy vậy, còn tồn tại ba khoảng không topo khác, and trong một số trong những ví dụ không kim chỉ nan thì chai Klein rất có thể đc nhúng làm sao để cho bên phía trong khoảng không hai chiều, mặc dầu thực chất khoảng không của chính bản thân nó vẫn không kim chỉ nan.[4]

Chai Klein xẻ đôi[sửa | sửa mã nguồn]

Xẻ một chai Klein làm đôi chạy dọc theo mặt bằng đối xứng của chính bản thân nó, hiệu quả ta đc hai ảnh đối xứng gương (phản xuyên thẳng qua gương) của dải Mobius, tức là một dải đc xoắn nửa vòng bên trái, and một dải đc xoắn nửa vòng phía bên phải (1 trong hai hình nêu trên là hình bên phía tay phải).

Chú ý rằng: phần giao của ảnh không quá sống sót tại đó.

Những đường cong đơn đóng[sửa | sửa mã nguồn]

Những đường cong đơn, đóng, rất có thể xuất hiện thêm trên mặt của chai Klein đc đề ra khi cần sử dụng phép thấu xạ thứ nhất những nhóm của chai Klein với thông số nguyên. Nhóm này đẳng cấu với Z×Z2. Hòn đảo ngược kim chỉ nan, những lớp thấu xạ chỉ có chứa những đường cong đơn, kín như sau: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Sự kim chỉ nan của 1 đường cong đơn, đóng and hòn đảo ngược, nế như đó bên phía trong 1 trong hai mặt mũ chéo tạo cho chai Klein, cho nên nó là lớp thấu xạ (1,0) hoặc (1,1); nế như đó cắt chai Klein thành hai dải Mobius, thì nó là lớp thấu xạ (2,0); nế như đó cắt chai Klein thành một hình vành khuyên (annulus), nó sẽ bị biến thành lớp thấu xạ (0,1), and nế như đó là một đĩa có biên, thì nó là lớp thấu xạ (0,0).

Tham số hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nhúng “số 8” của chai Klein (bánh Klein) chứa một phép tham số hóa nổi bật dễ dàng và đơn giản. Đó là hình xuyến “số 8” vòng xoắn Mobius 180 độ đc chèn vào:








x



=

(

r
+
cos



θ
2


cos

v

sin



θ
2


sin

2
v

)

cos

θ




y



=

(

r
+
cos



θ
2


cos

v

sin



θ
2


sin

2
v

)

sin

θ




z



=
sin



θ
2


cos

v
+
cos



θ
2


sin

2
v






{displaystyle {begin{aligned}xvàamp;=left(r+cos {frac {theta }{2}}cos v-sin {frac {theta }{2}}sin 2vright)cos theta yvàamp;=left(r+cos {frac {theta }{2}}cos v-sin {frac {theta }{2}}sin 2vright)sin theta zvàamp;=sin {frac {theta }{2}}cos v+cos {frac {theta }{2}}sin 2vend{aligned}}}

Với 0 ≤ θ < 2π and 0 ≤ v < 2π.

200px Kleinbagel cross section

Mặt Klein cắt ngang một đường cong số tám (những đường lemniscate của Gerono).

Trong phép nhúng này, vòng tròn tự giao là một vòng tròn hình học trong mặt bằng Oxy. Nửa đường kính r của đường tròn là một hằng số dương. Tham số θ khẳng định góc trong mặt bằng xy and v khẳng định chỗ đứng phía trên mặt cắt hình số 8. Với những tham số phía trên mặt cắt ngang là đường cong Lissajous với tỉ lệ 2:1
Trong khoảng không 4D, mặt bằng này rất có thể đc trở thành không cắt chéo bằng cách thức thêm vào biến v “tăng ngày một nhiều” trên trục thứ 4 (trục w) tại giao điểm.

Thí dụ:








w



=
sin

v






{displaystyle {begin{aligned}wvàamp;=sin vend{aligned}}}

Tham số hóa của phép nhúng 3D của chai Klein khó khăn hơn hẳn. Tiếp sau đây là phần tham số hóa của Robert Israel:








x
(
u
,
v
)



=



2
15


cos

u
(
3
cos


v


30
sin


u

+
90
cos



u


4


sin


u









60
cos



u


6


sin


u

+
5
cos


u

cos


v

sin


u

)




y
(
u
,
v
)



=



1
15


sin

u
(
3
cos


v


3
cos



u


2


cos


v


48
cos



u


4


cos


v

+
48
cos



u


6








cos


v


60
sin


u

+
5
cos


u

cos


v

sin


u


5
cos



u


3


cos


v

sin


u


80






cos



u


5


cos


v

sin


u

+
80
cos



u


7


cos


v

sin


u

)




z
(
u
,
v
)



=


2
15


(
3
+
5
cos


u

sin


u

)
sin


v







{displaystyle {begin{aligned}x(u,v)&=-{frac {2}{15}}cos u(3cos {v}-30sin {u}+90cos {u}^{4}sin {u}&quad -60cos {u}^{6}sin {u}+5cos {u}cos {v}sin {u})y(u,v)&=-{frac {1}{15}}sin u(3cos {v}-3cos {u}^{2}cos {v}-48cos {u}^{4}cos {v}+48cos {u}^{6}&quad cos {v}-60sin {u}+5cos {u}cos {v}sin {u}-5cos {u}^{3}cos {v}sin {u}-80vàamp;quad cos {u}^{5}cos {v}sin {u}+80cos {u}^{7}cos {v}sin {u})z(u,v)&={frac {2}{15}}(3+5cos {u}sin {u})sin {v}end{aligned}}}

Với 0 ≤ u < π and 0 ≤ v < 2π.

Dạng tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

220px Klein bottle translucent

Bức Ảnh suốt trong quãng của chai Klein

Dạng tổng quát những nhánh khó khăn hơn của chai Klein đc đề cập đến trong nội dung bài viết về đa giác căn bản.
Một vài quan điểm khác nhận định rằng, cấu tạo đa tạp 3D, mà ta đã biết là một chai Klein rắn đồng phôi với topology tích Descartes Cartesian product:





M



o
¨



×
I



{displaystyle scriptstyle M{ddot {o}}times I}

của dải Mobius nhân với 1 khoảng chừng. Chai Klein rắn là một phiên bản không kim chỉ nan đc của khối xuyến, tương đồng với






D

2


×

S

1





{displaystyle scriptstyle D^{2}times S^{1}}

.

Mặt bằng Klein[sửa | sửa mã nguồn]

Mặt bằng Klein, cũng như mặt Riemann, là mặt có tập ánh xạ thoả hàm thay đổi (transition function) đc cần sử dụng bằng số phức phối hợp.
Một vật thoả tình huống đã nêu trên gọi là cấu tạo phi phân tích và lý giải (dianalytic structure) trong khoảng không.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^

    Bonahon, Francis (ngày 5 tháng tám năm 2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces lớn hyperbolic knots. AMS Bookstore. tr. 95. ISBN 978-0-8218-4816-6., Extract of page 95

  2. ^ “Strange Surfaces: New Ideas”. Tàng trữ bản gốc ngày 28 tháng 11 năm 2006. Truy vấn ngày 28 tháng 11 năm 2006.
  3. ^ David Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley & Sons. tr. 176.
  4. ^ Weeks, Jeffrey (2002). The shape of space, 2nd Edn. CRC Press. ISBN 978-0-8247-0709-5.
  • Weisstein, Eric W., “Klein Bottle” từ MathWorld.
  • A classical on the theory of Klein surfaces is [1] of Alling-Greenleaf

Kết nối ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Imaging Maths – The Klein Bottle
  • The biggest Klein bottle in all the world
  • Klein Bottle animation: produced for a topology seminar at the Leibniz University Hannover. [2] Tàng trữ 2012-04-25 tại Wayback Machine
  • Klein Bottle animation from 2010 including a car ride through the bottle và the original description by Felix Klein: produced at the Không lấy phí University Berlin.
  • Torus Games Không lấy phí downloadable games for Windows và Mac OS X that highlight the topologies of the Torus và Klein Bottle.

Bài Viết: Chai Klein là gì? Chi tiết về Chai Klein mới nhất 2022

Nguồn: blogsongkhoe365.vn

Xem:  Mastacembelus favus là gì? Chi tiết về Mastacembelus favus mới nhất 2022

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.